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几何画板解析2017年江苏苏州中考倒二(几何背景)

2017-08-26 永泰一中 张祖冬 初中数学延伸课堂


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2017•苏州倒二)如图,已知ABC内接于OAB是直径,点DO上,ODBC,过点DDEAB,垂足为E,连接CDOE边于点F

1)求证:DOE∽△ABC

2)求证:ODF=BDE

3)连接OC,设DOE的面积为S1,四边形BCOD的面积为S2,若S1S227,求sinA的值.



【图文解析】

1)简析:如下图示:


2法一:如下图示,


       DOE~△ABC可得AODE=∠1+∠3,又ABDC=∠2+∠3(根据“同弧所对的圆周角相等”)所以∠1+∠3=∠2+∠3,得∠1=∠2,即ODF=BDE.


法二:如下图示,


       由垂径定理得弧BD=弧BG,进一步得∠2=∠4,又由ODBC得∠1=∠4,所以∠1=∠2ODF=BDE.


法三:如下图示,


       不难证得:∠2=∠5,而∠5=∠4,得∠2=∠4,又由ODBC得∠1=∠4,所以∠1=∠2ODF=BDE.


3法一:如下图示,


由△DOE∽△ABCSDOESABC(ODAB)2=1:4,得到SABC =4S1,又因OAOB,得SBOC =2S1.

       另一方面,由已知S1S227可设S12a,则S27aSBOC =2S14a.进一步得到:SBOD =3a. SBOE =a.如下图示:



所以SDOESBDE =2aa21=OEBE(因EOB上).

       若设BEt,则OE2tODOB3t,在RtDOE中,sinODE2t/3t=2/3,并且由(1)可得:∠A=∠ODE,因此sinA=2/3.


       法二:如下图示,


       S1SDOE0.5Rsinα×Rcosα=0.5R2sinα·cosα.

S2S四边形BCODSBOD+ SBOC0.5R·Rcosα+0.5·2Rsinα·Rcosα.= 0.5R2 cosα+R2sinα·cosα.

所以


( 已知S1:S22:7)

解得sinα=2/3,sinA=2/3.


【反思】本题的第2小题的51 29348 51 14986 0 0 3048 0 0:00:09 0:00:04 0:00:05 3048>3个解法和第3小题的2个解法,都很有代表性,都值得深思.


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