几何画板解析2017年江苏苏州中考倒二(几何背景)
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(2017•苏州倒二)如图,已知△ABC内接于⊙O,AB是直径,点D在⊙O上,OD∥BC,过点D作DE⊥AB,垂足为E,连接CD交OE边于点F.
(1)求证:△DOE∽△ABC;
(2)求证:∠ODF=∠BDE;
(3)连接OC,设△DOE的面积为S1,四边形BCOD的面积为S2,若S1:S2=2:7,求sinA的值.
【图文解析】
(1)简析:如下图示:
(2)法一:如下图示,
由△DOE~△ABC可得∠A=∠ODE=∠1+∠3,又∠A=∠BDC=∠2+∠3(根据“同弧所对的圆周角相等”),所以∠1+∠3=∠2+∠3,得∠1=∠2,即∠ODF=∠BDE.
法二:如下图示,
由垂径定理得弧BD=弧BG,进一步得∠2=∠4,又由OD∥BC得∠1=∠4,所以∠1=∠2,即∠ODF=∠BDE.
法三:如下图示,
不难证得:∠2=∠5,而∠5=∠4,得∠2=∠4,又由OD∥BC得∠1=∠4,所以∠1=∠2,即∠ODF=∠BDE.
(3)法一:如下图示,
由△DOE∽△ABC得S△DOE:S△ABC=(OD:AB)2=1:4,得到S△ABC =4S1,又因OA=OB,得S△BOC =2S1.
另一方面,由已知S1:S2=2:7可设S1=2a,则S2=7a,S△BOC =2S1=4a.进一步得到:S△BOD =3a. S△BOE =a.如下图示:
所以S△DOE:S△BDE =2a:a=2:1=OE:BE(因E在OB上).
若设BE=t,则OE=2t,OD=OB=3t,在Rt△DOE中,sin∠ODE=2t/3t=2/3,并且由(1)可得:∠A=∠ODE,因此sinA=2/3.
法二:如下图示,
S1=S△DOE=0.5Rsinα×Rcosα=0.5R2sinα·cosα.
而S2=S四边形BCOD=S△BOD+ S△BOC=0.5R·Rcosα+0.5·2Rsinα·Rcosα.= 0.5R2 cosα+R2sinα·cosα.
所以
( 已知S1:S2=2:7)
解得sinα=2/3,即sinA=2/3.
【反思】本题的第2小题的51 29348 51 14986 0 0 3048 0 0:00:09 0:00:04 0:00:05 3048>3个解法和第3小题的2个解法,都很有代表性,都值得深思.
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